Całki Funkcje (matematyka) Funkcje wymierne

Całka z dowolnej funkcji wymiernej - kompletna procedura i przykłady

Definicja 1: Całka z funkcji wymiernej

Jeżeli \( P(x), Q(x) \) są to dowolne wielomiany ( \( Q(x) \neq 0 \)), to całkę

\( \int \frac{ P(x) }{ Q(x) }dx \)

nazywamy całką z funkcji wymiernej.

Procedura obliczania całki z funkcji wymiernej:

Jeżeli stopień wielomianu \( P(x) \) jest większy lub równy stopniowi wielomianu \( Q(x) \), to należy podzielić z resztą wielomian \( P(x) \) przez \( Q(x) \). W wyniku uzyskamy sumę wielomianu i ułamka wymiernego, w którym stopień licznika będzie mniejszy niż stopień mianownika.
Następnie w ułamku wymiernym należy rozłożyć wielomian w mianowniku na czynniki liniowe lub nierozkładalne czynniki kwadratowe w pewnych potęgach.
Po rozłożeniu mianownika ułamka wymiernego na czynniki należy ułamek wymierny rozłożyć na ułamki proste pierwszego lub drugiego rodzaju. Rozkład ten jest podyktowany obecnością czynników liniowych lub nierozkładalnych czynników kwadratowych w rozkładzie mianownika ułamka wymiernego na czynniki oraz ich krotnościami.
Na koniec należy scałkować powstały wielomian oraz ułamki proste i jest to wynik całości.

Przykład 1:

Obliczmy całkę z funkcji wymiernej

\( \int \frac{ x^7-3x^5+3x^4-2x^3-8x^2+2x-16 }{ x^4-3x^2-4 } dx. \)

Zauważmy, że stopień wielomianu z licznika jest większy od stopnia wielomianu w mianowniku, a zatem najpierw wykonamy dzielenie wielomianów

\( \begin{array}{ lll }( \, x^7-3x^5+3x^4-2x^3-8x^2+2x-16) & : & (x^4-3x^2-4) = x^3 + 3 \\\underline{ -x^7+3x^5+4x^3 } & & \\\qquad \quad \qquad 3x^4+2x^3-8x^2+2x-16 & & \\\qquad \quad \qquad \underline{ -3x^4+9x^2+12 } & &\\\qquad \qquad \qquad \qquad 2x^3+x^2+2x-4 & & \\\end{array} \)

Stąd

\( \frac{ x^7-3x^5+3x^4-2x^3-8x^2+2x-16 }{ x^4-3x^2-4 }=\underbrace{ x^3 + 3 }_{ wielomian }+\underbrace{ \frac{ 2x^3+x^2+2x-4 }{ x^4-3x^2-4 }. }_{ ułamek \, wymierny } \)

Otrzymaliśmy w ten sposób ułamek właściwy \( \frac{ 2x^3+x^2+2x+2 }{ x^4-3x^2-4 }, \) w którym stopień wielomianu w liczniku jest niższy niż stopień wielomianu z mianownika, a więc możemy przystąpić do rozłożenia wielomianu \( x^4-3x^2-4 \) na czynniki.
Aby rozłożyć na iloczyn wielomian \( x^4-3x^2-4, \) skorzystamy z podstawienia \( t=x^2 \) sprowadzając wielomian stopnia 4 do funkcji kwadratowej \( t^2-3t-4 \). Po obliczeniu \( \Delta=25 \) oraz miejsc zerowych \( t_1=-1, t_2=4, \) otrzymujemy postać iloczynową funkcji kwadratowej

\( t^2-3t-4=(t+1)(t-4). \)

Wracając do podstawienia \( t=x^2 \) oraz korzystając ze wzoru skróconego mnożenia dostajemy szukany rozkład na czynniki mianownika

\( x^4-3x^2-4=(x^2+1)(x^2-4)=(x-2)(x+2)(x^2+1). \)

Szukany rozkład na ułamki proste jest zatem następujący

\( \frac{ 2x^3+x^2+2x-4 }{ x^4-3x^2-4 }=\frac{ A }{ x-2 }+\frac{ B }{ x+2 }+\frac{ Cx+D }{ x^2+1 }. \)

Mnożąc powyższe równanie przez wspólny mianownik ( \( x^4-3x^2-4 \)), a następnie grupując wyrazy podobne otrzymujemy

\( 2x^3+x^2+2x-4=(A+B+C)x^3+(2A-2B+D)x^2+(A+B-4C)x+(2A-2B-4D). \)

Następnie porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \( x \) dostajemy układ równań

\( \begin{cases} A+B+C=2\\\\2A-2B+D=1\\\\A+B-4C=2\\\\2A-2B-4D=-4,\end{cases} \)

a stąd \( A=1, \) \( B=1, \) \( C=0, \) i \( D=1. \)
Wówczas otrzymujemy

\( \frac{ 2x^3+x^2+2x-4 }{ x^4-3x^2-4 }=\frac{ 1 }{ x-2 }+\frac{ 1 }{ x+2 } +\frac{ 1 }{ x^2+1 }. \)

Wracając do całki

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ x^7-3x^5+3x^4-2x^3-8x^2+2x-16 }{ x^4-3x^2-4 } dx \\&=\int \left(x^3 +3+\frac{ 2x^3+x^2+2x-4 }{ x^4-3x^2-4 } \right) dx\\&=\int \left(x^3 + 3\right) dx+\int \frac{ 2x^3+x^2+2x-4 }{ x^4-3x^2-4 } dx\\&=\frac{ x^4 }{ 4 }+3x+\int \left(\frac{ 1 }{x-2}+\frac{ 1 }{ x+2 } +\frac{ 1 }{ x^2+1 }\right) dx\\&=\frac{ 1 }{ 4 }x^4+3x+\int \frac{ dx }{ x-2 }+\int \frac{ dx }{ x+2 } +\int \frac{ dx }{ x^2+1 }\\&=\frac{ 1 }{ 4 }x^4+3x+\ln|x-2|+\ln|x+2| +\text{ arctg }x+C\\&=\frac{ 1 }{ 4 }x^4+3x+\ln|x^2-4| +\text{ arctg }x+C.\end{align*} \)

Przykład 2:

Obliczmy całkę z funkcji wymiernej

\( \int \frac{ x^3+2 }{ x^3-x } dx. \)

Zauważmy, że stopień wielomianów z licznika i mianownika jest taki sam a więc, aby móc rozłożyć funkcję wymierną na ułamki proste, musimy przekształcić ją najpierw do postaci sumy wielomianu i ułamka wymiernego.
Stąd

\( \frac{ x^3+2 }{ x^3-x }=\frac{ x^3-x+x+2 }{ x^3-x }=\frac{ x^3-x }{ x^3-x }+\frac{ x+2 }{ x^3-x }=1+\frac{ x+2 }{ x^3-x }. \)

Następnie rozkładając mianownik ułamka \( \frac{ x+2 }{ x^3-x } \) na czynniki

\( x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1), \)

otrzymujemy rozkład na ułamki proste

\( \frac{ x+2 }{ x^3-x }=\frac{ A }{ x }+\frac{ B }{ x-1 }+\frac{ C }{ x+1 }. \)

Mnożąc powyższe równanie przez mianownik lewej strony (tj. \( x^3-x \)) otrzymujemy równanie

\( x+2=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1), \)

które ma być spełnione dla dowolnej wartości zmiennej \( x \). Wybierając \( x=0, x=1 \) i \( x=-1, \) natychmiast otrzymujemy szukane liczby

\( \begin{cases} A=-2 \\\\B=\frac{ 3 }{ 2 }\\\\C=\frac{ 1 }{ 2 } .\end{cases} \)

Wracając do całki mamy

\( \begin{align*}I&=\int \frac{ x^3+2 }{ x^3-x } dx =\int \left(1+\frac{ x+2 }{ x^3-x } \right) dx\\&=\int dx+\int \frac{ x+2 }{ x^3-x } dx=x+\int \left(\frac{ -2 }{ x }+\frac{ \frac{ 3 }{ 2 } }{ x-1 } +\frac{ \frac{ 1 }{ 2 } }{ x+1 }\right) dx\\&=x-2\int \frac{ dx }{ x }+\frac{ 3 }{ 2 }\int \frac{ dx }{ x-1 } +\frac{ 1 }{ 2 }\int \frac{ dx }{ x+1 }\\&=x-2\ln|x|+\frac{ 3 }{ 2 }\ln|x-1| +\frac{ 1 }{ 2 }\ln|x+1|+C.\end{align*} \)

Zadanie 1:

Treść zadania:

Oblicz całkę z funkcji wymiernej

\( \int \frac{ 3x+1 }{ x^3+2x^2+x } dx. \)

Matematyka